persamaan garis pada gambar tersebut adalah

Untukmenentukan persamaan garis lurus tersebut lakukanlah kegiatan di bawah ini dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Langkah-langkahnya adalah: 1. Perhatikan Gambar 9.5 (a) di bawah ini. 2. Gambar 9.5 9.5 (a) Bola dan garis Tarik garis H melalui titik F + , + , +) sehingga menembus bola di O dan P. Padagambar tersebut terlihat segitiga ABC kongruen dengan segitiga A'B'C'. Persamaan transformasi dapat diterjemahkan dalam bentuk matriks. Anda dapat menentukan bayangan suatu titik yang transformasikan dengan menggunakan operasi perkalian dua buah matriks. Garis AA' tegak lurus dengan garis y = x. Jadi A'(4, 1) adalah bayangan Kumpulantitik-titik tersebut saling berkesinambungan dan memanjang ke dua arah. Garis hanya memiliki satu dimensi, yaitu ukuran panjang. Melihat dari bentuknya, terdapat beberapa macam istilah pada garis, diantaranya yaitu: Sinar, merupakan garis yang memiliki satu titik pangkal, sedangkan ujung lainnya dapat diteruskan ke segala arah yang tak Olenyaitu, pada kesempatan ini Ruangsoal akan membahas Soal dan Pembahasan Penerapan Lingkaran dalam Kehidupan. Berikut ini beberapa kumpulan soal penerapan lingkaran dalam kehidupan. Soal dan Pembahasan Penerapan Lingkaran. Soal . Jari-jari sebuah roda 35 cm. Berapakah panjang lintasannya, jika roda itu berputar atau menggelinding sebanyak GARISLURUS Gambar di samping adalah gambar Candi Borobudur yang terletak di Magelang, Jawa Tengah, Indonesia. Situs ini masuk dalam daftar Situs Warisan Dunia. Ditengah - tengah susunan candi terdapat tangga menuju ke bagian puncak Candi Borobudur Gambar di samping adalah gambar tangga di Mount Huashan, China. Tangga ini merupakan tangga paling Les Sites De Rencontre Pour Musulmans. Halo Quipperian! Pernahkah kalian melihat atau mendengar menara Pisa di Italia? Menara Pisa adalah sebuah menara lonceng yang memiliki kemiringan sekitar 50namun tetap berdiri hingga saat ini. Menara Pisa didirikan pada Abad ke-12. Tahukah kamu, bagaimana menentukan sudut kemiringan dari Menara Pisa ini? Untuk menentukan kemiringan kita bisa menggunakan konsep dari persamaan garis lurus dengan membuat koordinat Kartesiusnya. Aplikasi persamaan garis lurus tidak hanya untuk menentukan kemiringan suatu bangunan namun juga dapat menentukan waktu dan jarak dari kecepatan yang diperoleh, peramalan harga atau jumlah penduduk di tahun tertentu. Menarik, bukan? So, pada kesempatan kali ini, Quipper Blog akan membahas tentang garis lurus dan persamaannya, penentuan nilai gradien, serta contoh soal dan pembahasan aplikasi persamaan garis lurus dari bank soal Quipper Video yang selalu update. Yuk, simak! Pengertian Garis Lurus & Gradien Garis Lurus Garis lurus adalah kumpulan titik-titik yang tak berhingga dan saling berdampingan. Garis lurus dapat dinyatakan ke dalam suatu persamaan eksplisit dan implisit. Persamaan garis lurus secara eksplisit contohnya yaitu y = mx dan y = mx + c sedangkan persamaan garis lurus secara implisit adalah ax + by + c = 0. Di mana y = persamaan garis lurus, m = gradien/ kemiringan, c = konstanta, a dan b merupakan suatu variabel. Dari gambar di atas dapat dijelaskan bahwa fx = 2x + 1 disebut garis lurus, di mana nilai gradien dari garis tersebut adalah 2 dan konstantanya adalah 1. Garis lurus tersebut berjenis y = mx + c. Gradien Gradien adalah nilai kemiringan suatu garis. Gradien dapat bernilai positif atau negatif. Sesuai perjanjian gradien bernilai positif apabila arah garis ke kanan dan ke atas sedangkan gradien bernilai negatif apabila arah garis ke kiri dan ke bawah. Secara umum, nilai suatu gradien garis dapat dinyatakan dalam suatu rumusan matematis yaitu Persamaan diatas dapat digunakan apabila garis dihubungkan dengan dua titik X x2, x1 dan Y y2, y1. Sedangkan untuk menentukan gradien dari persamaan garis lurus secara implisit ax + by + c = 0 adalah sebagai berikut Apabila suatu soal diketahui nilai gradiennya dan titik koordinatnya A x1,y1. Maka persamaan garis lurus dapat ditentukan menggunakan persamaan Namun apabila di soal terdiri dari dua titik A x1,y1 dan B x2,y2. Persamaan garis lurus dapat ditentukan menggunakan persamaan Contoh soal 1. Diketahui garis lurus melalui titik A -4, 5 dan B 2, 3. Tentukan nilai dari gradien tersebut. Untuk menjawab soal di atas kita dapat menggunakan rumus persamaan garis di antara dua titik yaitu 2. Diketahui sebuah garis lurus yaitu 8x + 4y + 9 = 0. Tentukan nilai gradien dari garis lurus tersebut. Untuk menjawab soal di atas, kita mengetahui bahwa garis tersebut adalah garis lurus implisit. Sehingga nilai gradiennya dapat dicari dengan 3. Tentukan persamaan garis yang melalui titik 2, 3 dan sejajar dengan garis y = 2x – 5. Diketahui nilai gradiennya adalah m=2. Maka nilai persamaan garis lurusnya adalah Jadi nilai persamaan garis lurusnya adalah y = 2x -1 Menentukan Nilai Gradien Nilai gradien dapat ditentukan dari suatu hubungan dari garis-garis yang ada. Contohnya garis-garis yang sejajar dan garis-garis yang saling tegak lurus. Bunyi hukum gradien suatu garis adalah sebagai berikut “Garis-garis yang sejajar mempunyai gradien yang sama dan hasil kali gradien garis-garis yang saling tegak lurus adalah 1”. Dari gambar di atas, terlihat ada 4 garis yaitu garis a, garis b, garis c, dan garis d. Untuk menentukan nilai gradien/kemiringan dari masing-masing tersebut, maka nilai gradiennya dapat diperoleh menggunakan persamaan Sehingga gradient garis a adalah Gradien garis b adalah Gradien garis c adalah Gradien garis d adalah Nilai Gradien dari ke-4 garis tersebut adalah sama yaitu 5/4. Hal ini dikarenakan ke-4 garis tersebut adalah saling sejajar. Sedangkan di bawah ini adalah cara menentukan nilai gradien garis yang saling tegak lurus. Gradien garis k adalah Gradien garis h adalah Perhatikan bahwa perkalian gradien garis h dan garis k diperoleh Penerapan konsep dari persamaan garis lurus tidak hanya dapat menentukan nilai kemiringan suatu bangunan namun juga dapat digunakan untuk menentukan permasalahan penting lainnya dalam kehidupan sehari-hari yaitu jarak dan waktu dari suatu kecepatan, peramalan harga suatu barang dalam kurun waktu tertentu, serta peramalan jumlah penduduk dari suatu wilayah. Berikut contoh soal dan pembahasannya. Latihan Soal, Yuk! Nomor 1 Seseorang bersepeda dengan kecepatan tetap 15 km/jam. Setelah 3 jam, orang tersebut menempuh jarak 45 km. Berapa lama waktu yang diperlukan orang tersebut untuk menempuh jarak 90 km? Permasalahan di atas dapat diselesaikan menggunakan rumusan persamaan garis dengan membuat satu titik tetap yang kita sebut titik asal. Pada saat mula-mula posisi orang berada di titik s = 0 titik asal dan setiap detik bergerak ke kanan, pesepeda tersebut bergerak sejauh 3 km. Posisi orang tersebut dapat dilihat pada tabel di bawah ini Dengan t menyatakan waktu dan s menyatakan posisi/jarak, sehingga hubungan antara s dan t dapat disajikan dalam bentuk persamaan S = 15t Untuk menggambar garis tersebut dapat dilakukan cara dengan membuat koordinat kartesisus dengan menghubungkan pasangan titik pada tabel di atas yaitu 0,0, 1,15, 2,30, 3,45, sehingga grafik persamaan s = 15 t dapat disajikan pada gambar di bawah ini. Perhatikan bahwa sumbu horizontal menyatakan waktu t dan sumbu vertikal menyatakan jarak yang ditempuh s. Bilangan 15 pada persamaan gerak s = 15 t disebut kecepatan benda atau gradien garis tersebut. Berdasarkan hubungan ini, untuk mencari posisi benda pada waktu atau mencari waktu pada posisi tertentu, cukup dengan menggantikan nilai t pada persamaan tersebut. Sehingga untuk mencari t pada s = 90 km, persamaannya Nomor 2 Sebidang tanah dengan harga perolehan diperkirakan mengalami tingkat kenaikan konstan per tahun dalam kurun waktu 5 tahun. Tentukan persamaan garis harga tanah tersebut dan harga tanah setelah 5 tahun! Diasumsikan variabel x sebagai kurun waktu dalam tahun dan y sebagai nilai harga dalam rupiah. Dari soal diketahui bahwa y = jika x = 0. Misalkan gradiennya adalah m maka m = karena tiap tahun bertambah Sehingga diperoleh persamaan harga sebagai berikut Untuk x = 5 tahun, maka harga yang diperoleh adalah Jadi harga tanah setelah 5 tahun adalah Nomor 3 Di salah satu kota X di Pulau Jawa, pertambahan penduduk tiap tahunnya selalu tetap. Pada tahun 2005 dan tahun 2011, jumlah penduduk di kota itu berturut-turut orang dan orang. Berapa jumlah penduduk di kota itu pada tahun 2015? Untuk menyelesaikan soal di atas kita misalkan x sebagai waktu dan y menyatakan jumlah penduduk. Karena pertambahan penduduk tiap tahunnya tetap, berarti grafik jumlah penduduk terhadap waktu merupakan garis lurus dengan persamaan sebagai berikut Untuk x = 2015, maka nilai y = 2015-2005 + = Jadi pertumbuhan penduduk pada tahun 2015 adalah orang. Bagaimana Quipperian mulai tertarik kan belajar konsep-konsep Matematika? Ternyata apabila kita memahami konsep dasar dari Matematika maka Quipperian dapat menjelaskan masalah-masalah nyata menggunakan konsep matematika juga. Apabila Quipperian ingin memahami masalah-masalah nyata menggunakan konsep Matematika, mari bergabung bersama Quipper Blog, karena masih banyak penjelasan yang menarik dan mudah dipahami untuk membantu Quipperian menyelesaikan masalah-masalah nyata menggunakan konsep Matematika. Sumber Dhoruri, Atmini. 2011. Pembelajaran Persamaan Garis Lurus di Kemdikbud Insani, Nur. 2007. Kalkulus Universitas Negeri Yogyakarta Tampomas, Husein. 2007. Seribu Pena Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA kelas XI. Jakarta Erlangga Sumber gambar Penulis William Yohanes Kita ketahui bahwa melalui dua buah titik kita dapat membuat sebuah garis lurus silahkan baca pengertian titik, garis dan bidang. Jadi untuk menggambar sebuah garis melalui persamaan garis lurus, minimal kita membutuhkan dua buah titik. Ini sudah dijelaskan pada postingan sebelumnya tentang cara menggambar grafik garis lurus pada bidang cartesius. Nah bagaimana kalau sebaliknya? Bagaimana menentukan persamaan garis lurus jika grafiknya sudah diketahui? a. Untuk persamaan garis y = mx Untuk menyatakan persamaan garis lurus dari gambar grafik yang sudah diketahui maka kita harus mencari hubungan absis x dan ordinat y yang dilalui garis tersebut. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini. Perhatikan gambar grafik di atas. Misalkan bentuk persamaan garis lurus tersebut adalah y = mx + c dengan m dan c konstanta. Karena titik 0, 0 dan 4, 2 terletak pada garis tersebut maka diperoleh Untuk titik koordinat 0,0 maka y = mx + c 0 = m0 + c c = 0 Untuk titik koordinat 4, 2 maka y = mx + c 2 = + 0 m = ½ Sehingga persamaannya menjadi y = mx + c y = ½x + 0 y = ½x Jadi persamaan garis lurus dari grafik di atas adalah y = ½x Berdasarkan penjelasan dan contoh soal di atas maka dapat ditarik kesimpulan bahwa persamaan garis yang melalui titik O0, 0 dan titik Px1, y1 adalah y = y1/x1x. Jika y1/x1 = m maka persamaan garisnya adalah y = mx. Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang cara menyatakan persamaan garis jika grafiknya sudah diketahui, silahkan simak contoh soal di bawah ini. Contoh Soal 1 Tentukan persamaan garis pada gambar di bawah ini. Penyelesaian Garis l1 melalui titik 0, 0 dan 3, 2, sehingga persamaan garisnya adalah y = y1/x1x y = 2/3x Garis l2 melalui titik 0, 0 dan – 1, 3, sehingga persamaan garisnya adalah y = y1/x1x y = 3/– 1x y = –3x b. Untuk persamaan garis y = mx + c Pada pembahasan di atas sudah dibahas bahwa garis yang melalui koordinat O0, 0 dan Px1,y1 persamaan garis lurusnya adalah y = y1/x1x. Bagaimana kalau garis tersebut tidak melalui koordinat 0,0? Untuk mengatahui hal tersebut sekarang perhatikan gambar grafik di bawah ini. Misalkan bentuk persamaan garis lurus tersebut adalah y = mx + c dengan m dan c konstanta. Karena titik 0, 3 dan 4, 6 terletak pada garis tersebut maka diperoleh Untuk titik koordinat 0,3 maka y = mx + c 3 = m0 + c c = 3 Untuk titik koordinat 4, 6 maka y = mx + c 6 = + 3 3 = 4m m = ¾ Sehingga persamaannya menjadi y = mx + c y = ¾x + 3 Jadi persamaan garis lurus dari grafik di atas adalah y = ¾x + 3 Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang menyatakan persamaan garis jika grafiknya tidak melalui 0,0, silahkan simak contoh soal di bawah ini. Contoh Soal 2 Tentukan persamaan garis pada gambar di bawah ini. Penyelesaian Garis l3 melalui titik 0, –1 dan –1, 0 maka Untuk titik koordinat 0, –1 maka y = mx + c –1 = m0 + c c = –1 Untuk titik koordinat –1, 0 maka y = mx + c 0 = m. –1 + –1 1 = –m m = –1 Sehingga persamaannya menjadi y = mx + c y = – + –1 y = –x – 1 Jadi persamaan garis l3 dari grafik di atas adalah y = –x – 1 Garis l4 melalui titik 0, 1 dan 5, 0 maka Untuk titik koordinat 0, 1 maka y = mx + c 1 = m0 + c c = 1 Untuk titik koordinat 5, 0 maka y = mx + c 0 = m. 5 + 1 – 1 = 5m m = –1/5 Sehingga persamaannya menjadi y = mx + c y = –1/5.x + 1 y = –x/5 + 1 Jadi persamaan garis l4 dari grafik di atas adalah y = –x/5 + 1 Berdasarkan contoh soal di atas maka dapat ditarik kesimpulan bahwa jika ada garis yang melalui koordiant 0, y1 dan x1, 0 maka persamaan garis lurusnya adalah y = - y1/x1x + y1 Demikian postingan Mafia Online tentang menyatakan persamaan garis jika grafiknya diketahui. Mohon maaf jika ada kata-kata atau hitungan yang salah dalam postingan di atas. Salam Mafia. Mahasiswa/Alumni Universitas Brawijaya06 Februari 2022 0656Halo Marina, Kakak bantu jawab ya. Jawaban untuk soal ini adalah C. Ingat Persamaan garis yang melalui titik x1,y1 dan x2,y2 dirumuskan sebagai y-y1/y2-y1 = x-x1/x2-x1 Diketahui Persamaan garis y = 3x+4 yang melalui 0,p dan q,1 sehingga x1,y1 = 0,p x2,y2 = q,1 y-p/1-p = x-0/q-0 y-p/1-p = x/q -> Kalikan kedua ruas dengan 1-pq qy-p = 1-px qy - qp = 1-px ->Tambahkan kedua ruas dengan qp qy = 1-px + qp -> bagi kedua ruas dengan q y = [1-px]/q + p Ingat Persamaan garis yang melalui 0,p dan q,1 adalah y = 3x+4 sehingga p = 4 1-p/q = 3 substitusikan nilai p = 4 1-4/q = 3 -3/q = 3 -> kalikan kedua ruas dengan q -3 = 3q -> bagi kedua ruas dengan 3 -1 = q maka p + q = 4 + -1 = 4 - 1 = 3 Jadi dapat disimpulkan bahwa nilai p + q adalah 3 dan jawaban yang tepat adalah C. Kelas 9 SMPFUNGSI KUADRATFungsi kuadrat dengan tabel, grafik, dan persamaanPerhatikan gambar berikut Persamaan garis a pada gambar tersebut adalah... A. 3x + 2y = -4 B. 3x - 2y = 4 C. 3x - 2y = 3 D. 2x + 3y = 3 E. 2x - 3y = 5Fungsi kuadrat dengan tabel, grafik, dan persamaanFUNGSI KUADRATALJABARMatematikaRekomendasi video solusi lainnya0353Diketahui garis dengan persamaan x + 4y + 3 = 0 dan 2x - ...0146Perhatikan grafik fungsi kuadrat fx = ax^2 + bx + c ber...0349Grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di titik -4,...0648Lukiskan grafik fungsi kuadrat fx=x^2+6x+5, untuk domai...Teks videoJika kita melihat soal seperti ini kita harus tahu terlebih dahulu rumus untuk menentukan persamaan garis jika suatu garis itu melalui satu titik dan tegak lurus atau sejajar garis lain yaitu y dikurangi dengan y 1 = M dikali dengan X dikurang Y dengan x 1 rumus ini selalu kita gunakan y untuk menentukan persamaan garis dengan kondisi tersebut. Oke di sini yang dicari adalah persamaan garis a di mana A garis a ini melewati titik 3 koma 3 dan tegak lurus dengan garis lain misalkan Saya beri nama garis ini adalah garis B Oke garis B ini melalui sumbu y di titik 0,2 sedangkan melalui sumbu x di titik 3,0 maka kita bisa cari tahu nilai dari gradien garis B di ini Kenapa kita harus cari tahu gradien garis B karena mengetahui gradien garis B kita bisa atau gradien garis a untuk kemudian kita masukkan ke dalam rumahnya ada di Ok gradien garis B bisa kita perlu dengan cara Y 2 dikurang dengan 1 per X2 dikurangiX1 secara umum rumus ini digunakan untuk menentukan gradien dari suatu garis jika diketahui dua titik dengan catatan titik-titik ini berada di garis B yaitu melewati garis peta dia koma dua dan 3,0 misalkan yang 0,2 saya ibaratkan sebagai x1 y1 dan 3,0 adalah x 2 Y 2 maka gradiennya adalah 0 dikurangi 2 per 3 dikurangi 0 hasilnya adalah min 2 per 3 perlu kita ketahui bahwa di sini gradien garis a dan garis B tegak lurus ya maka gradien garis B dengan gradien garis a itu nilainya negatif 1 atau artinya sebenarnya gradien garis B dan gradien garis a itu saling berkebalikan dan berlawanan karena nilai dari gradien garis B ini adalah min 2 per 3 maka gradien dari garis a adalah 3 per 2 kebalikan dan lawannya gradien garis ini kita masukkan ke persamaannya tadi y dikurangSatu karena titik a titik garis a garis a ini melewati titik 3 koma 3 maka y satunya adalah 3 = 3 per 2 X dikurang x 1 yaitu 3. Nah ini ini ya saya kalikan 2 ya biar pecahan di sini hilang berarti 2 y min 6 sama dengan 3 kali x min 3 tinggal dikalikan saya 2y min 6 = 3 x min 93 X Saya pindah ke ruas kiri ya berarti 2 y min 3 x = min 6 Jika saya pindah ke kanan berarti Min 9 ditambah dengan 6 2y min 3 x = min 3 Nah karena di opsi disini adalah variabel x bernilai positif saya X negatif 1 semua ya Negeri 1 berarti di sini dapat 3 X min 2 y = 3 Nah jadi persamaan garis a di sini adalah 3min 2 y = 3 ada 2 PSI C sampai jumpa di soal selanjutnyaSukses nggak pernah instan. Latihan topik lain, yuk!12 SMAPeluang WajibKekongruenan dan KesebangunanStatistika InferensiaDimensi TigaStatistika WajibLimit Fungsi TrigonometriTurunan Fungsi Trigonometri11 SMABarisanLimit FungsiTurunanIntegralPersamaan Lingkaran dan Irisan Dua LingkaranIntegral TentuIntegral ParsialInduksi MatematikaProgram LinearMatriksTransformasiFungsi TrigonometriPersamaan TrigonometriIrisan KerucutPolinomial10 SMAFungsiTrigonometriSkalar dan vektor serta operasi aljabar vektorLogika MatematikaPersamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel WajibPertidaksamaan Rasional Dan Irasional Satu VariabelSistem Persamaan Linear Tiga VariabelSistem Pertidaksamaan Dua VariabelSistem Persamaan Linier Dua VariabelSistem Pertidaksamaan Linier Dua VariabelGrafik, Persamaan, Dan Pertidaksamaan Eksponen Dan Logaritma9 SMPTransformasi GeometriKesebangunan dan KongruensiBangun Ruang Sisi LengkungBilangan Berpangkat Dan Bentuk AkarPersamaan KuadratFungsi Kuadrat8 SMPTeorema PhytagorasLingkaranGaris Singgung LingkaranBangun Ruang Sisi DatarPeluangPola Bilangan Dan Barisan BilanganKoordinat CartesiusRelasi Dan FungsiPersamaan Garis LurusSistem Persamaan Linear Dua Variabel Spldv7 SMPPerbandinganAritmetika Sosial Aplikasi AljabarSudut dan Garis SejajarSegi EmpatSegitigaStatistikaBilangan Bulat Dan PecahanHimpunanOperasi Dan Faktorisasi Bentuk AljabarPersamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel6 SDBangun RuangStatistika 6Sistem KoordinatBilangan BulatLingkaran5 SDBangun RuangPengumpulan dan Penyajian DataOperasi Bilangan PecahanKecepatan Dan DebitSkalaPerpangkatan Dan Akar4 SDAproksimasi / PembulatanBangun DatarStatistikaPengukuran SudutBilangan RomawiPecahanKPK Dan FPB12 SMATeori Relativitas KhususKonsep dan Fenomena KuantumTeknologi DigitalInti AtomSumber-Sumber EnergiRangkaian Arus SearahListrik Statis ElektrostatikaMedan MagnetInduksi ElektromagnetikRangkaian Arus Bolak BalikRadiasi Elektromagnetik11 SMAHukum TermodinamikaCiri-Ciri Gelombang MekanikGelombang Berjalan dan Gelombang StasionerGelombang BunyiGelombang CahayaAlat-Alat OptikGejala Pemanasan GlobalAlternatif SolusiKeseimbangan Dan Dinamika RotasiElastisitas Dan Hukum HookeFluida StatikFluida DinamikSuhu, Kalor Dan Perpindahan KalorTeori Kinetik Gas10 SMAHukum NewtonHukum Newton Tentang GravitasiUsaha Kerja Dan EnergiMomentum dan ImpulsGetaran HarmonisHakikat Fisika Dan Prosedur IlmiahPengukuranVektorGerak LurusGerak ParabolaGerak Melingkar9 SMPKelistrikan, Kemagnetan dan Pemanfaatannya dalam Produk TeknologiProduk TeknologiSifat BahanKelistrikan Dan Teknologi Listrik Di Lingkungan8 SMPTekananCahayaGetaran dan GelombangGerak Dan GayaPesawat Sederhana7 SMPTata SuryaObjek Ilmu Pengetahuan Alam Dan PengamatannyaZat Dan KarakteristiknyaSuhu Dan KalorEnergiFisika Geografi12 SMAStruktur, Tata Nama, Sifat, Isomer, Identifikasi, dan Kegunaan SenyawaBenzena dan TurunannyaStruktur, Tata Nama, Sifat, Penggunaan, dan Penggolongan MakromolekulSifat Koligatif LarutanReaksi Redoks Dan Sel ElektrokimiaKimia Unsur11 SMAAsam dan BasaKesetimbangan Ion dan pH Larutan GaramLarutan PenyanggaTitrasiKesetimbangan Larutan KspSistem KoloidKimia TerapanSenyawa HidrokarbonMinyak BumiTermokimiaLaju ReaksiKesetimbangan Kimia Dan Pergeseran Kesetimbangan10 SMALarutan Elektrolit dan Larutan Non-ElektrolitReaksi Reduksi dan Oksidasi serta Tata Nama SenyawaHukum-Hukum Dasar Kimia dan StoikiometriMetode Ilmiah, Hakikat Ilmu Kimia, Keselamatan dan Keamanan Kimia di Laboratorium, serta Peran Kimia dalam KehidupanStruktur Atom Dan Tabel PeriodikIkatan Kimia, Bentuk Molekul, Dan Interaksi Antarmolekul Artikel ini akan mengkontruksi persamaan dari garis lurus pada dimensi tiga. Alat yang digunakan dalam hal ini adalah vektor pada ruang dimensi \\mathbb{R}^{3}\. Pertama akan dikontruksi garis yang sejajar dengan suatu vektor yang diberikan namun mempunyai panjang vektor yang berbeda. Misalkan sebuah garis \L\ melalui sebuah titik \P_{1} x_{1},y_{1},z_{1}\ dan sejajar dengan vektor tak nol yang diberikan\[\boldsymbol{V}=A\boldsymbol{i}+B\boldsymbol{j}+C\boldsymbol{k}\]Jika sebarang titik \Px,y,z\ berada di garis, maka vektor \\overrightarrow{P_{1}P}\ sejajar dengan vektor \\boldsymbol{V}\. Sebaliknya jika vektor \\overrightarrow{P_{1}P}\ sejajar dengan vektor \\boldsymbol{V}\ maka titik \P\ terletak pada garis \L\. Oleh karena itu jika \P\ terletak di dalam garis \L\ maka vektor \\overrightarrow{P_{1}P}\ bisa dinyatakan sebagai perkalian vektor \\boldsymbol{V}\ dengan suatu skalar. Hal ini dikarenakan vektor \\boldsymbol{V}\ dan vektor \\overrightarrow{P_{1}P}\ sejajar dan berbeda panjang. Jadi \[ \overrightarrow{P_{1}P}=t\boldsymbol{V} \]atau\[x-x_{1}\boldsymbol{i}+y-y_{1}\boldsymbol{j}+z-z_{1}\boldsymbol{k}=At\boldsymbol{i}+Bt\boldsymbol{j}+Ct\boldsymbol{k}\]Karena kedua vektor sama, maka dapat dilihat bahwa koefisien yang seletak sama. Jadi\[x-x_{1}=At, \quad y-y_{1}=Bt, \quad z-z_{1}=Ct\]selanjutnya variabel \x, y\ dan \z\ dicari sehingga\[x=x_{1}+At,\quad y=y_{1}+Bt, \quad z=z_{1}+Ct \qquad 1\]Ketika nilai \t\ diberikan dengan sebarang bilangan riil, maka akan ditemukan koordinat titik \x,y,z\ yang terletak di garis \L\. Persamaan 1 di atas dinamakan persamaan parametrik dari garis. Dengan menyamakan nilai \t\ pada ketiga persamaan diperoleh persamaan garis berikut\[\frac{x-x_{1}}{A}=\frac{y-y_{1}}{B}=\frac{z-z_{1}}{C} \qquad 2\]Persamaan 2 ini dinamakan persamaan simetri dari garis lurus di dimensi tiga. Sebuah bidang yang memuat garis dan tegak lurus ke bidang koordinat disebut bidang proyeksi. Persamaan 2 di atas menunjukkan tiga bidang proyeksi. Untuk membuktikan hal ini, persamaan dapat ditulis dengan\[\frac{x-x_{1}}{A}=\frac{y-y_{1}}{B},\quad \frac{x-x_{1}}{A}=\frac{z-z_{1}}{C}, \quad \frac{y-y_{1}}{B}=\frac{z-z_{1}}{C}\]Masing-masing persamaan tersebut merupakan persamaan bidang yang tegak lurus dengan bidang \xy, xz\ dan \yz\. Perhatikan persamaan bidang \[ \begin{eqnarray} \frac{x-x_{1}}{A}&=&\frac{y-y_{1}}{B}\\ Bx-x_{1}&=&Ay-y_{1}\\ Bx-x_{1}-Ay-y_{1}&=&0 \end{eqnarray}\]yang tegak lurus vektor normal \\boldsymbol{N}=B\boldsymbol{i}-A\boldsymbol{j}+0\boldsymbol{k}\. Karena vektor \\boldsymbol{N}\ berada di bidang \xy\ maka bidang \\frac{x-x_{1}}{A}=\frac{y-y_{1}}{B}\ juga tegak lurus dengan bidang \xy\. Contoh soal 1 Tulis persamaan garis yang melalui \2, -1, 3\ yang sejajar dengan vektor \\boldsymbol{V}=-2\boldsymbol{i}+4\boldsymbol{j}+6\boldsymbol{k}\. Pembahasan Soal 1 Persamaan garis dalam bentuk simetri adalah\[\frac{x-2}{-2}=\frac{y+1}{4}=\frac{z-3}{6}\]Sedangkan persamaan parametrik garis dalam bidangnya adalah\[x=2-2t, y=-1+4t, z=3+6t\]Contoh Soal 2 Tulis persamaan garis yang melalui dua titik \P2,-4,5\ dan \Q-1,3,1\. Pembahasan Soal 2 Vektor dari titik \Q\ ke \P\\[\overrightarrow{QP}=3\boldsymbol{i}-73\boldsymbol{j}+43\boldsymbol{k}\]sejajar dengan garis yang dicari. Jadi persamaan simetri dari garis dalam ruang yang diinginkan adalah\[\frac{x-2}{3}=\frac{y+4}{-7}=\frac{z-5}{4}\]Jika mengggunakan vektor \\overrightarrow{PQ}\ bisa yang akan berlainan tanda pada penyebut persamaan di atas. Contoh Soal 3 Temukan persamaan simetri dari persamaan garis berikut\[x+y-z-7=0, \quad x+5y+5z+5=0\]Pembahasan Soal 3 Persamaan pertama dikali dengan 5 sehingga dapat ditulis dengan\[5x+5y-5z-35=0, \quad x+5y+5z+5=0\]Jika persamaan pertama dijumlahkan dengan persamaan kedua maka\[6x+10y-30=0\]Jika persamaan kedua dikurangi dengan persamaan pertama maka diperoleh\[4y+6z+12=0\]Jadi didapatkan dua persamaan\[y=\frac{-3x+15}{5},\quad y=\frac{-3z-6}{2}\]Jika kedua persamaan dibagi dengan \-3\ maka didapatkan persamaan garis dalam bentuk simetri\[\frac{y}{-3}=\frac{x-5}{5}=\frac{z+2}{2}\]Contoh Soal 4 Tuliskan persamaan garis pada ruang yang melalui titik \A2,,6,4\ dan \B3,-2,4\! Pembahasan Soal 4 Vektor dari \A\ ke \B\ adalah\[\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{i}-8\boldsymbol{j}\]Jadi persamaan garis yang dicari sejajar dengan bidang \xy\. Bidang \z=4\ yang sejajar dengan bidang \xy\ memuat garis yang dimaksud karena garis melewati titik dengan koordinat bagian \z\ adalah 4. Jadi persamaan simetri dari garis adalah dengan menggunakan dua bagian pertama variabel \x\ dan \y\ dan ditambah dengan persamaan \z=4\ sehingga\[z=4, \frac{x-3}{1}, \frac{y+2}{-8}\]atau\[z=4, 8x+y-22=0\]Contoh Soal 5 Temukan persamaan garis yang melalui \2,-1,3\ dan sejajar dengan bidang \2x-y+4z-5=0\ dan \3x+y+z-4=0\. Pembahasan Soal 5 Vektor normal dari kedua bidang adalah\[\begin{eqnarray}\boldsymbol{N}_{1}&=&=2\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}+4\boldsymbol{k}\\ \boldsymbol{N}_{2}&=&3\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}+\boldsymbol{k}\end{eqnarray}\]Maka garis yang dimaksud akan tegak lurus dengan kedua vektor normal tersebut. Jika vektor \\boldsymbol{V}=A\boldsymbol{i}+B\boldsymbol{j}+C\boldsymbol{k}\ sejajar dengan garis, maka\[\begin{eqnarray}\boldsymbol{N}_{1} \cdot \boldsymbol{V}&=&2A-B+4C=0\\ \boldsymbol{N}_{2} \cdot \boldsymbol{V}&=& 3A+B+C=0\end{eqnarray}\]Dengan menyelesaikan sistem persamaan tersebut diperoleh solusi\[A=-c, B=2C\]Jadi vektor \\boldsymbol{V}=-C\boldsymbol{i}+2C\boldsymbol{j}+C\boldsymbol{k}\. Jika \C=1\ maka \\boldsymbol{V}=-\boldsymbol{i}+2\boldsymbol{j}+\boldsymbol{k}\. Oleh karena itu persamaan garis yang diminta adalah\[\frac{x-2}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{1}\] Sudut Arah dan Kosinus Arah Sudut \\alpha, \beta\ dan \\gamma\ antara garis berarah dengan sumbu \x\, sumbu \y\ dan sumbu\z\ negatif disebut sudut arah dari garis tersebut. Sedangkan kosinus dari sudut arah dinamakan kosinus arah dari garis tersebut. Contoh Soal 6 Temukan arah postif dari garis yang direpresentasikan dengan persamaan\[\frac{x-1}{4}=\frac{y+3}{-3}=\frac{z-5}{-2}\]dan temukan kosinus arah dari garis tersebut Pembahasan Soal 6 Berdasarkan definisi persamaan garis di dimensi tiga, vektor \4\boldsymbol{i}-3\boldsymbol{j}-2\boldsymbol{k}\ dan \-4\boldsymbol{i}+3\boldsymbol{j}+2\boldsymbol{k}\ sejajar dengan garis yang dimaksud. Kita pilih arah positif dari garis yang mengarah ke atas sedemikian sehingga \\gamma\ meruapakan sudut lancip. Maka vektor \-4\boldsymbol{i}+3\boldsymbol{j}+2\boldsymbol{k}\ menghadap arah positif dari garis. Selanjutnya dengan menggunakan perkalian titik diperoleh\[\begin{eqnarray}\boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{V}&=& \boldsymbol{i} \boldsymbol{V} \cos \alpha\\ -4&=& \sqrt{29} \cos \alpha \\ \cos \alpha &=& -\frac{4}{\sqrt{29}}\end{eqnarray}\]Secara serupa, untuk perkalian titik \\boldsymbol{j}\cdot \boldsymbol{V}\ dan \\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{V}\ menghasilkan\[\cos \beta = \frac{3}{\sqrt{29}}, \qquad \cos \gamma = \frac{2}{\sqrt{29}}\] Latihan Soal Pada nomor 1 sampai 4 berikut, tentukan garis yang sejajar dengan garis yang diberikan dan tentukan titik potong garis dengan bidang koordinat. 1. \\frac{x-6}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z+3}{3}\ 2. \\frac{x}{-2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{1}\ 3. \\frac{x-3}{3}=\frac{y}{-1}=\frac{z-4}{2}\ 4. \\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-4}{3}\ Tulis persamaan garis dalam dimensi tiga dalam dua bentuk dari garis yang melalui titik dan sejajar garis yang diberikan 5. \P4, -3, 5; -2\boldsymbol{i}+3\boldsymbol{j}+4\boldsymbol{k}\ 6. \P3, 3, 3; \boldsymbol{i}+\boldsymbol{k}\ 7. \P0, 0, 0; \boldsymbol{k}\ Tulis persamaan garis dalam dimensi 3 yang melalui dua titik berikut 8. \1, 2, 3, -2, 4, 0\ 9. \0, 0, 0, 3, 4, 5\ 10. \0, 0, 2, 0, 0, 4\ 11. Temukan bentuk simetri dari masing-masing pasangan persamaan berikut\[\begin{eqnarray} x-y-2z+1&=&0\\ x-36y-3z+7&=&0 \end{eqnarray}\]12. Temukan kosinus arah dari soal 1 sampai 4 Temukan kosinus dari sudut lancip yang dibentuk oleh masing-masing pasangan garis berikut 13. \\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-3}{2},\quad \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-3}{1}\ 14. \x=3+t, y=5-8t, z=2+4t; \quad x=3+4t, y=5-2t, z=2-4t\ 15. Temukan persamaan garis yang melewati \2,1,3\ dan sejajar dengan bidang \2x-3y+2z=5\ dan \3x+2y-2z=7\ Persamaan Garis Pada Dimensi Tiga Oleh Mohammad Mahfuzh Shiddiq December 11, 2019

persamaan garis pada gambar tersebut adalah